- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1 = +\infty $ 

$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1 = -\infty $

Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.

- Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas ocurren típicamente en funciones donde tenemos un cociente de polinomios, donde el grado del polinomio de arriba supera en un grado el del polinomio de abajo. Hacé la prueba y convencete que, en este caso, no tenemos asíntota oblicua (ya el límite de $m$ te va a dar infinito)

$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):

$ f'(x) = x^2 + x - 6 $

$\textbf{4)}$ Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

  $ x^2 + x - 6 = 0 $

Tenemos una cuadrática igualada a cero, si aplicás la fórmula resolvente vas a llegar a que los resultados son \( x = -3 \) y \( x = 2 \). Estos son nuestros "puntos críticos"

$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces: a) \( x < -3 \) b) \( -3 < x < 2 \) c) \( x > 2 \)

$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos: a) Para \( x < -3 \), elijo \( x = -4 \): $ f'(-4) = 6 > 0 $ Por lo tanto, \( f \) es creciente en este intervalo. b) Para \( -3 < x < 2 \), elijo \( x = 0 \): $ f'(0) = -6 < 0 $ Por lo tanto, \( f \) es decreciente en este intervalo. c) Para \( x > 2 \), elijo \( x = 3 \): $ f'(3) = 6 > 0 $ Por lo tanto, \( f \) es creciente en este intervalo. Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.